L’importanza di essere primo

I numeri primi sono spesso considerati enti “astratti” di interesse esclusivamente matematico. Scopo di questo saggio è la discussione di alcune proprietà dei numeri primi che hanno trovato importantissime applicazioni pratiche con l’avvento della crittografia a chiave pubblica negli anni ’70 e con la diffusione di Internet e del commercio elettronico di questi ultimi anni. Ci occuperemo di alcune proprietà peculiari dei numeri primi che sono “profonde” senza per questo essere particolarmente difficili, e senza che siano richieste complesse nozioni preliminari: infatti, l’unica cosa di cui abbiamo bisogno è il concetto di congruenza, che è strettamente connesso alla divisibilità, ed è quindi, a tutti gli effetti, una nozione elementare. Come applicazione concreta delle idee qui esposte, abbiamo incluso la descrizione di un popolare sistema di crittografia a chiave pubblica (ElGamal). Per non intralciare il discorso, i fatti principali relativi alle congruenze sono raccolti nell’Appendice A, insieme alle dimostrazioni formali dei risultati piú importanti. Nell’Appendice B descriviamo un algoritmo di scomposizione in fattori (diverso dalla divisione ripetuta) che sfrutta in modo essenziale l’idea di congruenza. Infine, diamo una certa quantità di riferimenti bibliografici, in maggioranza in lingua italiana, per eventuali approfondimenti, non essendo ovviamente possibile esaurire in questa sede tutti gli argomenti interessanti.